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(14)

 
 
SINTESI e COMPLEMENTI
Integrale Indefinito e Legge Assoluta
CRITERI di OTTIMAZIONE del
RENDIMENTO di un MOTORE PRIMO TERMICO
 
 
 
 
 
 
INTRODUZIONE

Questa RICERCA ha cercato di chiarire le principali proprietà di alcuni FLUIDI TERMODINAMICI (Liquidi, Gas, Miscugli), già ampiamente esaminati in una TESI di LAUREA avente per TITOLO: CRITERI di OTTIMAZIONE del RENDIMENTO di un MOTORE PRIMO TERMICO.
 
Al di la di ogni aspettativa abbiamo ottenuto RISULTATI apparentemente ANOMALI, non facilmente ACCETTABILI dai COMPETENTI, che li ritengono PRESUNTUOSI, non meritevoli di VERIFICA malgrado la dimostrazione MATEMATICA della loro presunta AUTENTICITA'. Si tratta di AFFERMAZIONI su nuovi Concetti di CATENA CINEMATICA, ENTROPIA, RENDIMENTO, VAPORE SATURO, DISTILLAZIONE, SECONDO PRINCIPIO, fino al MOTO PERPETUO di SECONDA SPECIE.
 
Infatti questi ARGOMENTI promettono RENDIMENTI UNITARI, nuovi conceti di ENTROPIA, di PRIMITIVA (integrale indefinito) e tant'ALTRO, terminando infine con una LEGGE SPERIMENTALE che assicura un CONTATTO SENSORIALE col MONDO ESTERNO.
 
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1)   MOTORI TERMICI E RENDIMENTI
 
Inizialmente volevamo analizzare le CAUSE per cui i MOTORI TERMICI ALTERNATIVI (Scoppio, Diesel) sono meno economici delle TURBINE a GAS di UGUALE POTENZA, malgrado abbiano RENDIMENTI (η) più GRANDI mentre gli ATTRITI (λ) sono quasi IDENTICI, quelli MECCANICI λA che disperdono LAVORO (1-λA)=LR/L e quelli TERMICI λC che disperdono CALORE (1-λC)=Q/QR.
 
Questi ATTRITI formano il RENDIMENTO INTERNO η0=(1-λA)(1-λC)0,85, che RIDUCE mediamente del 15% il RENDIMENTO η=L/Q dei CICLI IDEALI (Otto, Diesel, Joule, Carnot, ecc.) come confermano i rispettivi CICLI INDICATI dove gli SCAMBI Energetici di LAVORO LR e CALORE QR determinano il VALORE Sperimentale MEDIO del RENDIMENTO REALE ηR=LR/QR:
Questo VALORE approssimato di ηR≈0,85η può ritenersi ACCETTABILE soltanto nelle MACCHINE ROTATIVE, in particolare nelle TURBINE a GAS, ma niente affatto nelle MACCHINE ALTERNATIVE dove invece si OTTIENE un valore di ηR=LR/QR molto INFERIORE, come infatti risulta MISURANDO il LAVORO LR ottenuto intorno all’ALBERO e il CALORE QR speso nella CAMERA di COMBUSTIONE.

Inoltre tutti i CICLI TERMICI (Otto, Diesel, Joule, Carnot, ecc.) si svolgono a TEMPERATURE ELEVATE (T>Tc) e quindi, in prima approssimazione, seguono la TEORIA dei GAS PERFETTI, ignorando la COMBUSTIONE e il relativo RENDIMENTO ORGANICO.
 
In assenza di ALTERNATIVE, la DISCORDANZA dipende essenzialmente dalla DIVERSITA' delle due MACCHINE, cioè dalla CATENA CINEMATICA che COLLEGA la CAMERA di Combustione all’ALBERO, quasi INESISTENTE nelle TURBINE (mosse dalle giranti) ma DETERMINANTE nei MOTORI ALTERNATIVI, azionati dal Meccanismo BIELLA-MANOVELLA.

Nelle Condizioni di REGIME (durante il moto), ogni MACCHINA TERMICA a Combustione Interna (alternativa, rotativa) AUTOGESTISCE in TEMPI REALI (istante per istante) il suo BILANCIO Energetico TERMICO (δQ0) e MECCANICO (δL0) con l’ESTERNO.
 
Insomma, la MACCHINA FUNZIONA da SOLA, in modo AUTONOMO, INDIPENDENTE, a “SCATOLA CHIUSA”. Quindi è certamente il MECCANISMO che determina le CAUSE Termodinamiche del MOTO, cioè gli SCAMBI ENERGETICI (δQ,δL) e il RENDIMENTO (η). Chi ALTRI se NO?
 
A parte gli ATTRITI (λA,λC) di cui la (1) TIENE CONTO ad esempio nel Piano Meccanico O(F,s), questo significa che la CATENA CINEMATICA crea il CICLO IDEALE nella CAMERA di COMBUSTIONE e poi lo TRASMETTE all’ALBERO trasformandolo in un CICLO INDOTTO *, aventi la STESSA AREA ma DIFFERENTI FORME GEOMETRICHE.
 
Questi 2 CICLI corrrispondenti *, situati agli ESTREMI P,P* del MECCANISMO, compiono lo stesso LAVORO L=L*con differenti RENDIMENTI η≠η*. Ma il MOTORE è AZIONATO soltanto dal CICLO INDOTTO *, che potrebbe collocarsi in un ipotetico CILINDRO TOROIDALE intorno all’ALBERO, come nelle TURBINE, ignrando il resto della MACCHINA, come se non esistesse.
Sostituendo η→η* nella (1), si ottiene quindi il seguente valore approssimato del RENDIMENTO REALE EFFETTIVO ηE valido per ogni MACCHINA TERMICA a Combustione Interna:
Peraltro, lo STATO FISICO di una MASSA M(kg) di GAS (Ideale, Reale) risulta definito (Gibbs) da due VARIABILI INDOPENDENTI, di cui CONVIENE assumere la COPPIA p=F/A(Pa),V=As(m3) oppure F=Ap(N),s=V/A(m), LEGATE alla COSTANTE AREALE A(m2).
 
Con queste scelte, importanti FUNZIONI di STATO possono esprimersi nei Piani Meccanci O(p,V),O(F,s) con EQUAZIONI del tipo Y=f(p,V)=g(F,s), fra le quali riportiamo (3) la TEMPERATURA-FISICA RT(J), l’ENTROPIA-FISICA ΔS/R(ad) e l’ENERGIA-INTERNA ΔU(J), che dipendono dalla COSTANTE ENTROPICA k=cp/cv ma ESCLUDONO l’altra COSTANTE R(J/K):
Ritornamdo all’Ipotesi di Ottimazzare i MOTORI TERMICI, si tratta di MODIFICARE opportunamente le rispettive CATENE CINEMATICHE, cioèi Meccanismi che collegano la CAMERA di COMBUSTIONE all’ALBERO, allo scopo di migliorare il RENDIMENTO INDOTTO η*∈ℑ* che figura nell’EQUAZIONE (2), applicando le FUNZIONE di STATO (3) ed altre EQUAZIONI dello stesso tipo.
 
In tal modo l’Ottimazione del BILANCIO ENEGETICO (δQ,δL) diventa (in linea di principio) soltanto QUANTITATIVO, con MODESTI risultati nelle TURBINE, dove le (1),(2) sono POCO DIFFERENTI (ηη*), ma NOTEVOLE nei MOTORI ALTERNATIVI, azionati dal Meccanismo BIELLA-MANOVELLA, dove i RENDIMENTI INDOTTI η* possono CRESCERE oltre il 30%, a volte SUPERANDO addirittura quelli η dei CICLI IDEALI svolti nei rispettivi CILINDRI.
 
C’è da aggiungere le VARIANTI del CICLO RANKINE-HIRN negli attuali IMPIANTI TERMICI a VAPORE, dove la CONDENSAZIONE può essere ARRESTATA quando si vuole sulla IsoTermoBarica (dT=0),(dp=0),(orizzontale) del VAPORE-SATURO, formando un nuovo PUBTO INIZIALE (O) dove, conformemente alla FUNZIONE di STATO φ(p,T,xO)=0, avviene l’Incremento ISOTERMICO di PRESSIONE (dT=0),(Δp>0), seguito dall’Incremento ISOBARICO di TEMPERATURA (ΔT>0),(dp=0) sulla ISOTITOLO (dx=0) passante per (O).
 
Questo accade anche nel CICLO RANKINE HIRN, dove il suo PRIMO LATO non si trova (come si crede) nella ZONA LIQUIDA e dalle cui VARIANTI abbiamo ottenuto i CICLI ENTALPICI e i CICLI ENTROPICI, ampiamente DESCRITTI in altre pagine del SITO.
 
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Qui finisce la TESI sul Rendimento, ma poi senza volerlo la stessa Ricerca ha sconfinato nei settori più alti della FISICA TEORICA riguardanti i PRINCIPI DELLA TERMADINAMICA, generalmente ritenuti assolutamente validi (certi, intoccabili) pur essendo di natura prettamente sperimentale, mentre invece molti Studiosi nutrono cauti dubbi di affidabilità, specialmente sul SECONDO, sperando di ottenere conferme o smentite anche per via matematica, malgrado i numerosi risultati delle applicazioni, in apparenza (?) positive.
 
Si suppone infatti che l’ENTROPIA ottenuta dai Teoremi di CARNOT-CLAUSIUS rappresenti l’OMONIMO POSTULATO, cioè il SECONDO PRINCIPIO. In effetti costituisce un insolito DIFFERENZIALE dS=δQ/T legato (dal fattore integrante 1/T) al generico SCAMBIO TERMICO dQ¹0, che può diventare il DIFFERENZIALE dQ=δQ=TdS definito (dS=δQ/T)(δQ=TdS) dalla stessa ENTROPIA dS=δQ/T, come risulta dalle EQUAZIONI (3). Perciò l’ENTROPIA non può rappresentare l’unica Espressione Matematica del SECONDO PRINCIPIO.
 
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2)   FORME INFINITESIME LINEARI, DIFFERENZIALI
 
Per chiarire i suddetti sconfinamenti e motivare quelle diffidenze, cominciamo col ricordare che poche GRANDEZZE FISICHE Z(x,y) si conoscono in TERMINI FINITI, come le (3). Generalmente si esprimono in TERMINI INFINITESIMI mediante FORME DIFFERENZIALI LINEARI del tipo dZ=X1dx1+X2dx2+...+Xndxn, che nel caso di 2 VARIABILI INDIPENDENTI (x,y) assumono la seguente ESPRESSIONE, dove i COEFFICIENTI X(x,y) e Y(x,y) vengono DEFINITI (per via sperimentale) in un CAMPO CONNESSO C⊆ℜ2, (x,y)C:
Per conoscere (in termini finiti) alcuni VALORI della FUNZIONE INCOGNITA Z(x,y), occorre INTEGRARE δZ(x,y) lungo una determinata CURVA γC di EQUAZIONI x=s(t),y=y(t), dal PUNTO INIZIALE t0γ al generico PUNTO FINALE t∈γ, assegnando i due COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y), la LINEA di INTEGRAZIONE γC e infine i 2 ESTREMI (t0,t)γ:
INFINITESIMI del tipo (4) sono gli SCAMBI TERMICI δQ0 e MECCANICI δL0, che in TEMPI REALI (istante per istante) DEFINISCONO i BILANCI ENERGETICI delle MACCHINE TERMICHE.
 
Peraltro, se entrambi i COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y) si assegnano in un CAMPO SEMPLICEMENTE CONNESSO (CSC), E⊆ℜ2, allora può accadere che (x,y)E l’INFINITESIMO δZ(x.y) diventi un Differenziale dZ(x,y), di cui (in linea di principio) deve ESISTERE almeno una PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y), REALE o COMPLESA, che lo SODDISFA:
Generalmente, in ASSENZA di ALTERNATIVE, anche il DIFFERENZIALE (6) si risolve con INTEGRALI CURVILINEI del tipo (5), calcolabili per TENTATIVI e VERIFICHE di DERIVAZIONE, suppunendo(?) che la PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y) ESISTA effettivamente, DIPENDA dai PUNTI ESTREMI (t0,t)E0 ma NON necessariamente dalla LINEA (γE) che li CONGIUNGE.
 
 
In effetti, affinchè la PRIMITIVA Z(x,y)C2(E) ESISTA effettivamente (x,y)E, è necessario che quei COEFFICIENTI X(x,y)C1(E), Y(x,y)C1(E) soddisfino alla EQUAZIONE di SCHWARZ
 
X/y=Y/x, chiamata anche CONDIZIONE di INTEGRABILITA', o di CHIUSURA, che determina l’ESPRESSIONE λ(x,y) della DERIVATA SECONDA MISTA 2Z/xy=λ(x,y)C0(E) DEFINITA dal
 
seguente SISTEMA DIFFERENZIALE del SECONDO ORDINE alle DERIVATE PARZIALI:
 
  Viceversa, partendo da una FUNZIONE INTEGRANDA ARBITRARIA λ(x,y)C0(E) possiamo
 
CALCOLARE i seguenti COEFFICIENTI (8) X*(x,y), Y*(x,y) di un nuovo DIFFERENZIALE (8)1 dove COMPAIONO 2 FUNZIONI ARBITRAIE V(x),W(y) MONOVARIABILI, che supponiamo CONTINUE
 
(x,y)E, eventualmente COSTANTI o NULLE:
 
Il seguente INTEGRALE DOPPIO della EQUAZIONE 2Z/xy=λ(x,y) RAPPRESENTA la più GENERALE SOLUZIONE Z*(x,y)C2(E) del DIFFERENZIALE (6), dove le 3 FUNZIONI ABITRAIE
 
λ(x,y),V(x),W(y) MODIFICANO NOTEVOLMENTE il CONCETTO di PRIMITIVA:
 
 
  
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3) ALCUNE RIFLESSIONI
 
Facendo riferimento ai GAS IDEALI e senza escludere possibili ERRORI, abbiamo ottenuto RISULTATI alquanto INSOLITI. Perciò, prima di proseguire, anticipiamo 3 brevi RIFLESSIONI riguardanti: A) il Concetto di PRIMITIVAB) il Concetto di ENTROPIAC) i FLUIDI.
 
 
AIl CONCETTO di LIMITE rappresenta l’ALGORITMO FONDAMENTALE di tutta l’ANALISI MATEMATICA, un preciso CALCOLO SISTEMATICO che trova la sua più naturale APPLICAZIONE nella DEFINIZIONE di DERIVATA.
 
Tuttavia esso IGNORA l’OPERAZIONE INVERSA di INTEGRALE, stranamente RISOLVIBILE per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE tramite INTEGRALI CURVILINEI del tipo (5), senza alcuna certezza della sua presunta effettiva ESISTENZA.
 
D’altra parte basta ASSEGNARE la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(E0) nel SISTEMA (7) per ottenere i due COEFFICIENTI (8) X*(x,y), Y*(x,y) del generico DIFFERENZIALE dZ*(x,y), che si risolve con l’INTEGRALE DOPPIO (9).

In questi casi le 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) MODIFICANO notevolmente il CONCETTO di PRIMITIVA Z*(x,y). Peraltro lo stesso INTEGRALE diventa MONOVARIABILE lungo qualsiasi LINEA γE02 di EQUAZIONE y=y(x)C0(E0), OTTENENDO una estesa CLASSE di PRIMITIVE ANOMALE Z(x), REALI e/o COMPLESSE con DERIVATE REALI, INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI.

 
 
BIl SECONDO PRINCIPIO della TERMODINAMICA dovrebbe(?) assumere FORMA MATEMATICA con i TEOREMI di CARNOT-CLAUSIUS, che definiscono il DIFFERENZIALE dS=δQ/T della FUNZIONE di STATO (Link 02) chiamata ENTROPIA (S):
 
Il RENDIMENTO η=L/Q delle MACCHINE TERMICHE PERFETTE, funzionanti secondo un CICLO di CARNOT invertibile, DIPENDE unicamente dalle due TEMPERATURE estreme (T1,T2):
Facendo riferimento alle (1),(2), nelle MACCHINE TERMICHE è certamente ipotizzabile MINIMIZZARE gli ATTRITI TERMICI λC e MECCANICI λA fino a renderli TRASCURABILI, affinchè il RENDIMENTO INTERNO η0=(1-λA)(1-λC) DIVENTI quasi UNITARIO (η0=1).
 
In questi casi limiti il RENDIMENTO REALE EFFETTIVO ηE=η0η* espresso dalla (2) assume all’INCIRCA lo stesso VALORE del RENDIMENTO INDOTTO η*∈ℑ*, ottenendo ηE=η*. Questo vale anche per la MACCHINA PERFETTA di CARNOT, dove il RENDIMENTO EFFETTIVO ηE=η definito dalla (10) DIPENDE anche dal MECCANISMO e DOVREBBE assumere un'ESPRESSIONE del tipo:
Di questi 2 PARAMETRI (μ,η*) occorre tener CONTO nella precedente DEFINIZIONE (10) di ENTROPIA, che invece li IGNORA e quindi non può rappresentare l’Unica Traduzione Matematica del SECONDO PRINCIPIO, cioè il suo unico STRUMENTO di MISURA.
 
Al più potrebbe costituire Condizione NECESSARIA (non Sufficiente) per la sua VALIDITA', ancora da Dimostrare. Questo significa che l’ESPRESSIONE (11) del RENDIMENTO EFFETTIVO ηE TOGLIE al SECONDO PRINCIPIO il concetto di ENTROPIA e quindi ogni possibilità di essere TRADOTTO in termini MATEMATICI, senza escludere le originarie AFFERMAZIONI del POSTULATO di CLAUSIUS:
il CALORE NON PASSA SPONTANEAMENTE dai CORPI FREDDI ai CORPI CALDI.
 
 
 
C) La REGOLA delle FASI (di Gibbs) assicura che lo STATO FISICO dei FLUIDI risulta DEFINITO da 2 variabili (x,y)∈E02, che determinano le sue FUNZIONI di STATO Zj con EQUAZIONI del tipo Zj=fj(x,y) come nei precedenti esempi (3), dove l’ENERGIA INTERNA ΔU rappresenta il PRIMO PRINCIPIO mentre l’ENTROPIA ΔS nega la certezza MATEMATICA del SECONDO.
 
A questi risultati conducono i COEFFICIENTI X*(x,y), Y*(x,y) del DIFFERENZIALE (8)1, che definiscono la FORMA (8) del SISTEMA di STATO dei FLUIDI, cioè 2 EUAZIONI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y), dove basta assegnare la FUNZIONE INTEGRANDA λ(x,y)0 affinchè nella PRIMITIVA Z*(x,y), espressa dall’INTEGRALE (9), compaiano due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y).
 
In particolare consentono di separare gli STATI FISICI dei FLUIDI (H2O, CO2, ecc.), inoltre (come vedremo) trasformano il SISTEMA DIFFERENZIALE (7) in una “LEGGE ASSOLUTA della NATURA”, un METODO sperimentale Personalizzato che in TEMPI REALI (istante per istante) percepisce le ATTIVITA' SENSORIALI sui CORPI intorno a NOI, una VERITA' MATEMATICA valida SOLTANTO
“nell’ATTIMO FUGGENTE del MONDO in cui VIVIAMO".
 
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 E' strano che lo STUDIO di una estesa CLASSE di CORPI e FENOMENI si fonda sulla conoscenza di QUATTRO GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y)∈E02 due delle quali risultano INDIPENDENTI, e che la STESSA REGOLA vale anche nei FENOMENI BIOLOGICI della VITA CELLULARE, dove il CODICE GENETICO del DNA PRODUCE varie Trasformazioni PERMUTANDO due a due le quattro MOLECOLE di BASE (A,G,C,T) che INCOLLANO i PIOLI TRASVERSALI della STRUTTURA ELICOIDALE: FORSE la vera CONOSCENZA è prossima alla platonica “TEORIA del TUTTO” (?).
 
 
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4) PRIMITIVE ANOMALE

Due generiche FUNZIONI MONOVARIABILI X(x)C1(A),Y(y)C1(B), DEFINITE (x,y)(A,B), formano i COEFFICIENTI del seguente DIFFERENZIALE dZ(x,y), che determina una CLASSE di PRIMIIVE Z(x,y)C2(A,B):
 
A differenza delL'INFINITESIMO (4), che rappresenta le TRASFORMAZIONI ottenute dagli INTEGRALI CURVILINEI (5), l’EQUAZIONE (12) costituisce un DIFFERENZIALE del tipo (6), definito (x,y)(A,B)(E), che secondo il Teorema di TORRICELLI-BARROW dovrebbe ammettere l’Unica PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C1(E) espressa dal seguente INTEGRALE INDEFINITO:
 
Tuttavia lo stesso DIFFERENZIALE (12) soddisfa alle CONDIZIONI (7) di INTEGRABILITA', o di CHIUSURA, o di SCHWARZ, dove però risulta λ(x,y)=0. Esse DIMOSTRANO l’effettiva ESISTENZA della SOLUZIONE Z(x,y)C1(E) ma anche di altre Primitive Z*(x,y)C2(E) ottenute con l’Integrale Doppio (9), definite (x,y)(E):
 
 
Infatti, una prima INTEGRAZIONE della EQUAZIONE 2Z/xy=0 conduce alla seguente PRIMITIVA INCOGNITA Z*(x,y)C2(E), dove le due FUNZIONI INTEGRANDE sono ARBITRARIE, V(x)C1(A), W(y)C1(B), che includono la PRIMITIVA (12) Z(x,y)C1(A,B) ponendo V(x)=X(x),W(y)=Y(y):
Il SISTEMA DIFFERENZIALE (14) ammette la SOLUZIONE di TORRICELLI (13) ma anche la PRIMITIVA ARBITRARIA (15), soddisfacenti alla condizione di SCHWARZ 2Z/xy=λ(x,y)=0.
 
In particolare, se una delle due VARIABILI Indipendenti (x,y)(E) si suppone COSTANTE (k), ponendo ad esempio (y=k),(dy=0), allora ENTRAMBE le PRIMITIVE (13),(15) diventano MONOVARIABILI, ottenendo 2 distinte SOLUZIONI del Tipo seguente.
Le due SOLUZIONI (16) del differenziale (12), sembrano INCOMPATIBILI. Ci rendiamo conto quanto sia DIFFICILE accettare questi RISULTAI, ottenuti dal SISTEMA (7), dove l’INTEGRALE DOPPIO (8) della DERIVATA SECONDA MISTA 2Z*/xy=λ(x,y)=0 COLLOCA le due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) all’origine di questi DUBBI.
 
Un’altra CONFERMA proviene dall’INTEGRALE (15), supponendo di conoscere (x,y)(E) i due COEFFICIENTI V(x)=f(x), W(y)=g(y) e le SOLUZIONI, f(x)dx=F(x), g(y)dy=G(y), affinché almeno la PRIMITIVA Z(x,y)C1(A,B) sia compatibile col TEOREMA di TORRICELLI:
Anche in questi casi restano VALIDE le seguenti PRIMITIVE, che risultano DIFFERENTI a causa delle 2 VARIABILI (x,y) ciascuna delle quali può diventare FUNZIONE ARBITRARIA dell’ALTRA, SOSTITUENDO ad esempio x=y(y) all’estremo superiore del PRIMO INTEGRALE f(x)dx e/o y=j(x) all’estremo superiore del SECONDO g(y)dy:
 
 
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Nel complesso si tratta di PRIMITIVE Anomale INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI, anch’ ESSO poco AFFIDABILE in quanto RISOLVE  soltanto i due DIFFERENZIALI f(x)dx e g(y)dy con ipotetiche Primitive f(x)dx=F(x), g(y)dy=C(y) ritenute ESISTENTI e UNIVOCHE (x,y)(A,B), mentre INVECE risultano generalmente INCOGNITE in linea di Principio, essendo CALCOLABILI per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE, con RISULTATI INCERTI.

I precedenti CONFRONTI e quelli che seguiranno DIMOSTRANO che ogni FUNZIONE INTEGRANDA f(x)C0(A) può AMMETTERE (non necessariamente) infinite PRIMITIVE INCOGNITE ΔFh(x)C1(A), REALI, COMPLESSE, addirittura ARBITRARIE, fra le quali abbiamo SCELTO quelle più SEMPLICI, includendo alcuni INTEGRALI di RIEMANN impiegati per il calcolo di AREE e VOLUMI.

Si tratta di pochi ESEMPI numerici Utili per confermare le (18) ma non necessari ai fini della RICERCA, perciò possono IGNORARSI.
 
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5) ESEMPI DI PRIMITIVE ANOMALE, UTILI ma non NECESSARI per la RICERCA.
 
Nel complesso si tratta di PRIMITIVE anomale INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI, anche ESSO poco AFFIDABILE in quanto RISOLVE  soltanto i due DIFFERENZIALI f(x)dx e g(y)dy con ipotetiche Primitive f(x)dx=F(x), g(y)dy=C(y) ritenute UNIVOCHE (x,y)(A,B), mentre INVECE risultano generalmente INCOGNITE in linea di PRINCIPIO, essendo CALCOLABILI per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE, con RISULTATI INCERTI.

I precedenti CONFRONTI e quelli che seguiranno DIMOSTRANO che ogni FUNZIONE INTEGRANDA f(x)C0(A) può AMMETTERE infinite PRIMITIVE ΔFh(x)C1(A), REALI, COMPLESSE, addirittura ARBITRARIE, fra le quali abbiamo SCELTO quelle più SEMPLICI, includendo alcuni INTEGRALI di RIEMANN impiegati essenzialmente per il calcolo di AREE e VOLUMI. Sono ESEMPI Utili per le (18) ma non necessari per la RICERCA, perciò possono IGNORARSI.
 
Nei prossimi ESEMPI applicheremo il primo INTEGRALE (18), dove (x,y)(E) le PRIMITIVE dei due differenziali Z(x,y)/x=F(x)/x=f(x) ammettono la funzione INTEGRANDA f(x)C0(A):
 
 
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 Esempi 1)
 
Consideriamo la seguente FUNZIONE TRIGONOMETRICA Z(x,y)C1(E), definita (xy)1, la quale dipende da due VARIABILI (x,y)(E)⊆ℜ, di cui CALCOLIAMO le DERIVATE PARZIALI Z/x, Z/y, escludendo i PUNTI SINGOLARI xy=1 dove Z(x,y) subisce una DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE con SALTO ΔZ(x,y)=±π:
Le 2 VARIABILI INDIPENDENTI (x,y)(E) definiscono xy1 la PRIMITIVA (20), quindi possiamo APPLICARE una di queste FUNZIONI INTEGRANDE, ad esempio f(x)=1/(1+x2), per esprimere le DUE PRIMITIVE (19):
La stessa FUNZIONE (20) può ASSUMERE anche i seguenti VALORI, (1-xy)>0 cioè (xy<1):
Essa SEMPLIFICA le applicazioni delle (21), ad esempio il seguente INTEGRALE DEFINITO dove le PRIMITIVE (J’,J”) risultano IDENTICHE (J’=J”),xy<1 oppure DIFFERENTI (J’¹J”),xy>1:
Una CONFERMA si ottiene ASSEGNANDO all’altra VARIABILE il valore COSTANTE y=k0:
Un’altra VERIFICA (più interessante) si ottiene SOSTITUENDO all’estremo SUPERIORE x0 la FUNZIONE ESPONENZIALE x=(ey)/Y, ricordando (come abbiamo detto) che quella VARIABILE (x0) può diventare una FUNZIONE ARBITRARIA (Reale o Complessa) del tipo x=ψ(y), yA:
Fra gli altri ESEMPI dello stesso tipo (non riportati) è interessante il seguente CONFRONTO fra DUE PRIMITIVE certamente differenti (J’J”), una REALE, atgx , e l’altra COMPLESSA, atg(a+jb), ottenute dall’INTEGRALE (21) con la SOSTITUZIONE y=j/k, G(y)=0, definite (k,x)0, facilmente VERIFICABILI per DERIVAZIONE:
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Esempi 2).
 
Una VARIANTE della (20) è la seguente FUNZIONE (25) Z(x,y)C1(E), definita (xy), che consente di RIPETERE gli Esempi 1) per ottenere altre PRIMTIVE (J',J'') della stessa FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2), che (x=y) anche in QUESTO caso RISULTA ΔZ(x,y)=±π:
Applicando il PROCEDIMENTO (21), anche in questo caso possiamo PARTIRE dalla prima FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2) per RISALIRE alle due PRIMITIVE (19), anch’esse DEFINITE (y-x)0 cioè (xy):
Peraltro l’equazione (25) può assumere anche i seguenti Valori, definiti (y-x)>0 cioè (x<y):
Quanto prima la (27) CONDIZIONA tutte le APPLICAZIONI delle (26), in particolare il seguente INTEGRALE DEFINITO (x0), dove le PRIMITIVE (J’,J”) risultano IDENTICHE (J’=J”) xy<1 oppure DIFFERENTI (J’¹J”) xy>1:
Un facile ESEMPIO come le (21)1 si ottiene ASSEGNANDO il valore COSTANTE y=k0:
Anche in QUESTO caso, una VERIFICA si ottiene con la SOSTITUZIONE x=ey/y, ricordando che l’ESTREMO SUPERIORE (x) può diventare ARBITRARIO (Reale o Complesso) del tipo x=y(y):
Infine applihiamo la versione COMPLESSA dell’INTEGRALE (26) ponendo y=jk, (k,x)0:
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Esempi 3)
 
La seguente FUNZIONE TRIGONOMETRICA Z(x,y)C0(), definita (x,y), è dotata di CUSPIDI nei PUNTI SINGOLARI (x=y), come dimostrano le DERIVATE Z/x, Z/y definite (xy), di cui per brevità OMETTIAMO i CALCOLI, alle quali il FATTORE UNITARIO λ=(y-x)/|y-x|=±1 assegna il DOPPIO SEGNO ALGEBRICO (±):
Anche il DIFFERENZIALE dZ(x,y) della FUNZIONE (30) viene CONDIZIONATO dal FATTORE λ=(y-x)/|y-x|=±1, spostando il DOPPIO SEGNO algebrico (±) nelle sue DERIVATE Z/x, Z/y, anch’esse DEFINITE (xy):
Come nei precedenti ESEMPI, possiamo scegliere la prima FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2) per ottenere le due PRIMITIVE (J',J'') dell SISTEMA (19), le quali risultano IDENTICHE (J’=J”) (x<y) oppure DIFFERENTI (J’J”) (x>y), anch’ESSE CONDIZIONATE dal FATTORE UNITARIO l=(y-x)/|y-x|=±1 e DEFINITE (xy):
Assegnando alla y il valore COSTANTE y=k, (dy=0), come nelle (28)1 si OTTIENE:
Infine (per brevità) ci limitiamo a SOSTITUIRE nella (32) il NUMERO IMMAGINARIO (y=jk),(k), ottenendo le seguenti PRIMITIVE, una COMPLESSA (x,k) e l’altra REALE (x), certamente DIFFERENTI (x,k):
 
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Esempi 4)
 
La seguente FUNZIONE f(x)C0() è CONTINUA x, come risulta dai LIMITI per x(0,±):
Secondo il TEOREMA di TORRICELLI la Funzione INTEGRANDA (35) dovrebbe ammettere un’UNICA PRIMITIVA F(x)C1(), x. Ma il suo CALCOLO (per tentativi e verifiche di derivazione) conduce invece  al seguente INTEGRALE F(x) dove RISULTA F(±)=1/2 mentre nell’ORIGINE (x=0) presenta una DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE con SALTO ΔF(0)=-1, come dimostrano i suoi LIMITI.  Peraltro non esistono altre Primitive della Funzione (35), nemmeno quella di TORRICELLI, continua F(x)C1(), x:
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Sconvolgente CONCLUSIONE
 
I precedenti ESEMPI, e altri non riportati, DIMOSTRANO che ogni FUNZIONE f(x)C0(A) può avere INFINITE PRIMITIVE F(x)C(A), NOTE e/o INCOGNITE,  REALI e/o COMPLESSE e/o ARBITRARIE, anche non CONTINUE, calcolabili per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE, senza precise REGOLE di INTEGRAZIONE, come invece AVVIENE con le DERIVATE.
 
Questi inattesi RISULTATI mettono in CRISI la presunta ESISTENZA e UNICITA' dell’INTEGRALE, includendo le CUSPIDI e le altre DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE dove la PRIMITIVA può RISULTARE CONTINUA. come infatti ACCADE negli ESEMPI 3) dove il DIFFERENZIALE (31) presenta SINGOLARITA' (λ=±1) nelle CUSPIDI (x=y) e dove le DERIVATE Z/x, Z/y risultano DISCONTINUE.
 
In effetti la PRIMITIVA Z(x,y)C0(), definita (x,y), IGNORA quei PUNTI SINGOLARI (come se non esistessero) mettendo in discussione la CONTINUITA' delle FUNZIONI DERIVABILI e il concetto di INTEGRALE, risultsti incompatibili col TEOREMA di TORRICELLI.
 
Infine, ci CHIEDIAMO, quale SIGNIFICATO possono avere le FUNZIONI COMPLESSE con DERIVATE REALI, tipo (29),(34),(36), le RETTE REALI che INVILUPPANO (avvolgono) una FUNZIONE COMPLESSA, le TANGENTI REALI di ipotetiche LINEE IMMAGGINARIE non DISEGNABILI nello SPAZIO EUCLIDEO, l’INVOLUCRO (il contenitore, il vestito) di un CORPO INESISTENTE (?).
 
 
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6) RIFLESSIONI sul CONCETTO di PRIMITIVA

Il CONCETTO di LIMITE è fondamentale per tutta l’ANALISI MATEMATICA. Si trata di un preciso CALCOLO SISTEMATICO che nel caso di una sola VARIABILE INDIPENDENTE (xA) serve soprattutto a definire la DERIVATA f(x)C0(A) di una FUNZIONE CONTINUA F(x)C1(A) TRAMITE il seguente RAPPORTO INCREMENTALE ΔF(x)/Δx per Δx0:
Viceversa, in MANCANZA della OPERAZIONE inversa di INTEGRAZIONE f(x)F(x), la PRIMITIVA INCOGNITA F(x) si ESPRIME in Termini INFINITESIMI sostituendo il LIMITE (37) con la seguente EQUAZIONE DIFFERENZIALE, che si RISOLVE soltanto per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE, senza alcuna CERTEZZA della sua EFFETTIVA ESISTENZA, malgrado la GARANZIA di ESISTENZA e UNICITA' espressa dal TEOREMA di TORRICELLI-BARROW:
Tuttavia da questo INFINITESIMO si può risalire all’INCREMENTO ΔF= F(b)-F(a) con la seguente SOMMATORIA Σfj(x)Δjx, chiamata INTEGRALE di RIEMANN, che divide l’intero INTERVALLO (axb) in una SERIE di Sottoinsiemi (Δjx>0) ridotti ai rispettivi INFINITESIMI (Δjx0) che dipendono sempre dai VALORI EFFETTIVI di (Δjx>0)(axb):
Peraltro il TEOREMA di TORRICELLI-BARROW risolve formalmente il DIFFERENZIALE (38) sostituendo quella SOMMATORIA Σfj(x)Δjx col SIMBOLO di INTEGRALE f(x)dx, che pur restando INCOGNITO dovrebbe significare: SOMMA di INFINITI TERMINI INFINITESIMI, equivalente alla operazione INVERSA della DERIVATA. Invece lo stesso TEOREMA DIMOSTRA (in modo poco convincente) che (a,x)A ogni FUNZIONE f(x)C0(A) ammette un’UNICA PRIMITIVA, REALE, COMPLESSA o INCOGNITA F(x)C1(A), avente la seguente ESPRESSIONE:
In effetti la VERITA' è ben DIFFERENTE, come DIMOSTRANO le Condizioni di SCHWARZ (7) e le conseguenti soluzioni ARBITRARIE (x,y)E, di cui riportiamo l’INTEGRALE doppio (9) ΔZ*(x,y) supponendo di CONOSCERE V(x),W(y) e la PRIMITIVA incognita Z*(x,y)C2(E) che include anche l’INTEGRALE di TORRICELLI (40) (y=k),(dy=0):
Da queste EQUAZIONI possiamo ottenere due differenti PRMITIVE della stessa FUNZIONE INTEGRANDA V(x), la prima delle quali risulta addirittura ARBITRARIA a causa della VARIABILE yE, anche perchè (come abbiamo detto) l’ESTREMO SUPERIORE dell’INTEGRALE potrebbe SOSTITUIRSI con FUNZIONI ARBITRARIE del tipo x=μ(y), tenendo conto che (in alternativa) la PRIMA SOLUZIONE può presentare DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE nei PUNTI y=kE:
Quindi una FUNZIONE INTEGRANDA può AMMETTERE più PRIMITIVE, anche arbitrarie, mettendo in discussione il TEOREMA di TORRICELLI e la CONTINUITA' di una FUNZIONE DERIVABILE.

Il fatto appare più EVIDENTE se il DIFFERENZIALE (38) assume la generica FORMA IMPLICITA φ(x,y,y’)=0, la cui SOLUZIONE dipende da una COSTANTE ARBITRARIA k e quindi COMPRENDE una FAMIGLIA di 1 CURVE INTEGRALI, DIFFERENTI l’una dall’altra, a causa della PRIMITIVA UNITARIA y=Z(x,k) IMPOSTA dalle CONDIZIONI INIZIALI di CHAUHY-LAGRANGE.

 
Peralro può accadere che l'EQUAZIONE φ(x,y,y’)=0 ammetta assieme a y=Z(x,k) qualche INTEGRALE SINGOLARE y=g(x), o che la costante k scompaia dalla DERIVATA y’=Z’(x,k)=f(x).
In questi casi, SUPPONENDO di conoscere le PRIMITIVA F(x),G(x) di f(x),g(x), si ottiene un
INTEGRALE del tipo (43), con DUE differenti PRIMITIVE (J’J”) della stessa FUNZIONE f(x):
Il PROBLEMA si complica nelle EQUAZIONI di ORDINE n2, f(x,y',y'',.,y(n))=0, il cui INTEGRALE GENERALE y(x,k1,k2,..,kn) dipende da n COSTANTI ARBITRARIE. Ancor più nelle EQUAZIONI alle DERIVATE PARZIALI, che nel caso più semplice di n=2 VARIABILI Indipendenti, (x,y)(A,B), si prestano allo STUDO della TERMODINAMICA dei FLUIDI (liquidi, gas, miscugli) e di altri fenomeni bivariabili, quando l’INTEGRALE diventa un SISTEMA di STATO del tipo (8), con 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) di cui ci occuperemo.
 
 
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7)   IL SISTEMA DI STATO DEI FLUIDI

Un CORPO MATERIALE si manifesta tramite le sue PROPRIETA' SENSORIALI, un Insieme di GRANDEZZE FISICHE quantitative (misurabili) OTTENUTE per via Sperimentale, che potrebbero essere infinite assieme ai rispettivi STRUMENTI di MISURA, da PROGETTARE.
 
Sempre per via sperimentale, questo PROBLEMA è stato risolto dal SISTEMA INTERNAZIONALE delle UNITA' (SI), comprendente gli STRUMENTI di MISURA delle 7 GRANDEZZE FONDAMENTALI (m,kg,s,A,K,cd,mol), scelte fra le più SEMPLICI e INDIPENDENTI, per mezzo delle quali si possono MISURARE tutte le altre GRANDEZZE FISICHE, chiamate GRANDEZZE DERIVATE.
 
Lo STATO FISICO di un CORPO richiede la conoscenza di n2 GRANDEZZE che lo distinguono dagli altri CORPI. Questo significa che l’INSIEME di Nn GRANDEZZE FISICHE definiscono un SISTEMA di STATO (Σ) formato da N-n EQUAZIONI fra quelle N VARIABILI, di cui N-(N-n)=n (comunque scelte) risultano INDIPENDENTI, mentre le altre diventano FUNZIONI di STATO.
 
L’esempio più semplice è l’EQUAZIONE di STATO dei GAS PERFETTI pv=RT, dove N=3 GRANDEZZE formano N-n=1 EQUAZIONI con n=2 VARIABILI INDIPENDENTI. Inoltre, le stesse (n) VARIABILI formano le COORDINATE dello SPAZIO n-Dimensionale (), dove si rappresenta lo STATO (Σ) del FLUIDO e il SISTEMA PARAMETRICO (σ) delle possibili TRASFORMAZIONI.
 
In generale (Gibbs) lo STATO FISICO dei FLUIDI (Liquidi, Gas, Miscugli) AMMETTE soltanto n=2 VARIABILI INDIPENDENTI, definite in un CAMPO SEMPLICEMENTE CONNESSO (CSC) E2, quindi assegnando N=4 GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y), ad esempio (p,V,T,S)=(Pressione, Volume, Temperatura, Entropia), risulta definito il seguente SISTEMA di STATO (Σ) formato da N-n=2 EQUAZIONI, dove quell’unica COPPIA INDIPENDENTE può essere scelta in uno dei 6 MODI possibili (x,y),(x,X),(x,Y),(y,X),(y,Y),(X,Y), mentre le altre 2 GRANDEZZE FISICHE diventano FUNZINI di STATO del tipo X=X(x,y),Y=Y(x,y), definite (x,y)E⊆ℜ2:
Inlinea di principio, basta dunque ASSEGNARE una generica COPPIA INDIPENDENTE (x,y)E, in un CAMPO Semplicemente CONNESSO (CSC)=E2, per definire il SISTEMA di STATO (Σ) e quindi anche i due COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y) del seguente DIFFERENZIALE, al quale (come abbiamo detto e di cui parleremo fra poco) occorre AGGIUNGERE altri VINCOLI per assicurare l’effettiva ESISTENZA della sua PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C2(E):
Peraltro, la PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C2(E) si può calcolare nei DUE MODI seguenti: 
a) integrando il DIFFERENZIALE dZ(x,y) dal punto iniziale P0(x0,y0) al punto generico P(x,y), 
b) tramite l’INTEGRALE curvilineo lungo l'ARCO (t0,t)γ di una CURVA γE:
 
Queste soluzioni potrebbero NON ESISTERE o essere PLURIMERE (a più valori). Infatti, assieme al (CSC), l’effettiva Esistenza della PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C2(E) E2 RICHIEDE che siano SODDISFATTE anche le CONDIZIONI di SCHWARZ (7), dove risulta λ(x,y)0 e quindi VALGONO le seguenti EQUAZIONIi DIFFERENZIALI:
 
 
Si tratta di uno dei più semplici SISTEMI DIFFERENZIALI del 2O ORDINE alle DERIVATE PARZIALI, che in questo caso equivale al DIFFERENZIALE (46) e al SISTEMA di STATO (47) in quanto ESPRIME la stessa PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C2(E) di quel FLUIDO, definita (x,y)E.
 
Viceversa, il DIFFERENZIALE (46) e il SISTEMA di STATO (47) si possono ottenere assegnando la funzione di SCHWARZ λ(x,y)C0(E), cioè la DERIVATA SECONDA MISTA 2Z/xy=2Z/yx del SISTEMA (50), ottenendo le seguenti condizioni di INTEGRABILITA' GENERALIZZATA:

 
Assegnare la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(E) significa assegnare il SISTEMA di STATO (45) (X,Y)C1(E) di un determinato FLUIDO di RIFERIMENTO. A differenza delle EQUAZIONI (50) che ASSICURANO soltanto l’ESISTENZA di una PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y), il nuovo SISTEMA (51) definisce anche il DIFFERENZIALE (46), cioè i 2 COEFFICIENTI (47) del SISTEMA di STATO X(x,y),Y(x,y) e l’INTEGRALE DOPPIO della PRIMITIVA Z(x,y)C2(E), legati alla FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(E) ma soprattutto alle due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), da UTILIZZARE nei modi più opportuni:
  
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QUALCHE RITOCCO
 
 
A questo punto conviene tener conto dei seguenti SISTEMI DIFFERENZIALI EQUIVALENTI, il primo ottenuto DIFFERENZIANDO il SISTEMA di STATO (52) e l’altro SOSTITUENDO adeguatamente ALCUNI dei suoi TERMINI. In tal modo i rispettivi COEFFICIENTI consentono il CALCOLO IMMEDIATO delle DERIVATE PARZIALI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y):
 
Come abbiamo detto, queste EQUAZIONI semplificano il CALCOLO delle DERIVATE PARZIALI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y), definite dai RAPPORTI fra i rispettivi DIFFERENZIALI dx,dy,dX,dY. In particolare, le 4 COPPIE INDIPENDENTI (x,y),(x,Y),(y,X),(X,Y) definiscono le 8 DERIVATE seguenti, che abbiamo ASSOCIATO due a due allo scopo di ottenere 4 CONDIZIONI di INTEGRABILITA' EQUIVALENTI, a cominciare dalla (50).
 
Quanto prima, queste EQUAZIONI rappresentano 4 SISTEMI di STATO EQUIVALENTI e le rispettive PRIMITIVE INCOGNITE, che nel caso dei FLUIDI formano i 4 POTENZIALI TERMODINAMICI della CHIMICA-FISICA, di cui ci occuperemo in seguito:
 
Quanto precede si SEMPLIFICA assegnando alla FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) la COSTANTE λ=k. In questo caso il SISTEMA di STATO (52) assume la seguente FORMA RIDOTTA:
 
 
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OSSERVAZIONE
 
Potrebbe nascere qualche DUBBIO sulla CORRISPONDENZA fra l’INFINITESIMO (46) e il DIFFERENZIALE (51),

che produce i SISTEMI di STATO (52),(56). Peraltro quei RISULTATI li abbiamo ottenuti IGNORANDO (come se
 
non esistesse) la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)0, introdotta soltanto nelle CONDIZIONI di CHIUSURA (51).

Infatti le 3 FUNZIONI arbitrarie λ(x,y),V(x),W(y) RICOMPAIONO, assieme ai SISTEMI di STATO (52),(56),

INTEGRANDO manualmente il DIFFERENZIALE (46), tramite un laborioso procedimento che per brevità

omettiamo. Comunque quei SISTEMI di STATO (52),(56) assumono importanza nella TERMODINAMICA dei

FLUIDI ma soprattutto in questa RICERCA, il cui COMPITO è quello di determinare l’effettivo significato

MATEMATICO delle tre FUNZIONI ARBITRARIE λ(x,y),V(x),W(y), in particolare la CAPACITA' di interpretare le

GRANDEZZE FISICHE ATTRIBUITE ai CORPI materiali. Alla FINE (come vedremo) ESSE DIVENTERANNO una
 
autentica “LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA”.
 

 
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8IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
 
 Nelle COORDINATE dei GAS IDEALI conviene INCLUDERE le tre GRANDZZE FISICHE: PRESSIONE (p>0),(N/m2), VOLUME SPECIFICO (v>0),(m3/kg) e TEMPERATURA (T>>Tc),(oK), che definiscono l’EQUAZIONE di STATO pv=RT ma anche i due CALORI SPECIFICI (cp,cv),(J/kgoK), tenendo conto delle due COSTANTI FISICHE R(J/kgoK) e k(ad), come risulta dalle seguenti
 
EQUAZIONI EQUIVALENTI ottenute per via SPERIMENTALE da MAYER, GAY-LUSSAC, JOULE:
 
 
A causa delle 2 COSTANTI (R,k), anche quei due CALORI SPECIFICI (cp,cv) risultano praticamene COSTANTI. E’ questa la PROPRIETA' più IMPORTANTE dei GAS IDEALI, soprattutto perchè le EQUAZIONI (57) si possono ESTENDERE con sufficiente APPROSSIMAZIONE ai GAS REALI, addirittura a TUTTI i FLUIDI TERMODINAMICI (Liquidi, Gas, Miscugli) IMPIEGATI nelle MACCHINE TERMICHE a COMBUSTIONE INTERNA, negli INTERVALLI non molto grandi delle VARIABILI.
 
Peraltro, acquista notevole importanza lo SCAMBIO Energetico con l’ESTERNO, cioè il CALORE
 
ASSORBITO Q(J/kg) e il LAVORO CEDUTO L(J/kg), entrambi INCOGNITI in quanto DIPENDONO
 
dalle TRASFORMAZIONI e quindi ASSUMONO le seguenti FORME INFINITESIME (δQ,δL),
 
SCEGLIENDO ad esempio la COPPIA INDIPENDENTE (p,v)>0:

 
Tenendo conto delle EQUAZIONI (57) e dei VALORI MEDI delle due COSTANTI (R,k), si RICAVANO facilmente le seguenti tre ESPRESSIONI dello SCAMBIO TERMICO (δQ), DEFINITE (p,v)>0:
 
 
DIVIDENDO membro a membro per la TEMPERATURA T e tenendo conto dell’EQUAZIONE di STATO pv=RT, si ottiene il DIFFERENZIALE dell’ENTROPIA dS=δQ/T nelle seguenti FORME EQUIVALENTI, con l’immediata INTEGRAZIONE in Termini Finiti ΔS=(S-S0), anch’ESSE DEFINITE dalle 3 COPPIE INDIPENDENTI (p,v),(T,v),(T,p):
 
 
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PAUSA RIFLESSIVA

Come l’ENERGIA INTERNA e l'ENTALPIA, anche l’ENTROPIA dS=δQ/T costituisce dunque una comune FUNZIONE di STATO, pur essendo inizialmente DEFINITA dal Teorema di CARNOT-CLAUSIUS che rapppresenta il SECONDO PRINCIPIO, fondato essenzialmente  sulla presunta IRREVERSIBILITA' dei FENOMENI  REALI, che tuttavia viene completamente IGNORATO (come se non esistesse) dalla sua effettiva DEFINIZIONE (60).

Di conseguenza quella FUNZIONE di STATO (dS=δQ/T) non può rappresentare l’ESPRESSIONE Matematica del SECONDO PRINCIPIO, la sua TRADUZIONE ANALITICA, la certezza della sua EFFETTIVA VALIDITA', nemmeno nelle CONDIZIONI di INVERTIBILITA' (dS=δQ/T)(δQ=TdS) quando anche lo SCAMBIO TERMICO diventa un DIFFERENZIALE (δQ=dQ=TdS).
 
Questo (δQ=dQ=TdS) accade nelle TRASFORMAZIONI ISOCORE (dv=0) e/o ISOBARICHE (dp=0) dei CICLI-HIRN-ENTALPICI, dove lo SCAMBIO TERMICO (δQ) equivale alla ENERGIA-INTERNA (δQ)v=(dU)v e/o alla ENTALPIA (δQ)p=(dH)p, tenuto conto che neanche il CICLO di CARNOT (Invertibile) non può CONFONDERSI (Link 08) col MOTORE TERMICO che lo GGESTISCE.
 
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Analogamente, ripartendo dagli SCAMBI TERMICI (δQ) definiti delle (59), la DIFFERENZA (δQ-pdv) ricavata dalla SECONDA Equazione e la SOMMA (δQ+vdp) ottenuta dalla TERZA, determinano i DIFFERENZIALI della ENERGIA INTERNA (dU) e della ENTALPIA (dH), anch’ESSI calcolabili con immediata INTEGRAZIONE in Termini Finiti (ΔU),(ΔH), due importanti FUNZIONI di STATO legate alla COPPIA INDIPENDENTE (p,v) oppure soltanto alla TEMPERATURA (T):
 
 
L’ENERGIA INTERNA dU=dQ-dLu e l’ENTALPIA dH=dQ+dLe definite dalle EQUAZIONIi (61) rappresentano due DIVERSI MODI per esprimere lo SCAMBIO ENERGETICO, TERMOCO dQ e MECCANICO dL, che AZIONA ogni MOTORE TERMICO, chiamando LAVORO INTERNO dLu=pdv e LAVORO ENTALPICO dLe=vdp i due INFINITESIMI (pdv) e (vdp).
 
Si tratta di due differenti ESPRESSIONI (dU=dQ-dLu),(dH=dQ+dLe) del PRIMO PRINCIPIO della TERMODINAMICA, molto UTILI nelle Trasformazioni dei CICLI TERMICI (Hirn, Entalpici, Entropici, Joule, Otto, Diesel, ecc.) e rappresentano due dei 4 POTENZIALI TERMODINAMICI impiegati nella CHIMICA-FISICA, che sono: l’ENERGIA INTERNA (dU=TdS-pdv), l’ENTELPIA (dH=TdS+vdp), l’ENERGIA LIBERA di HELMHOLTZ (dF=dTS-dU), l’ENERGIA LIBERA di GIBBS (dG=dTS-dH).
 
Generalmente vengono ESPRESSI dai 4 DIFFERENZIALI (dU),(dH),(dF),(dG) in funzione delle 4 COPPIE INDIPENDENTI (S,v),(S,p),(T,v),(T,p) del gruppo (p,v,T,S), facilmente RICAVABILI dal SISTEMA (61) sostituendo alcuni termini dei secondi membri:
 
 
In effetti queste 4 ESPRESSIONI del PRIMO PRINCIPIO potrebbero diventare SEI, includendo i due DIFFERENZIALI dM(T,S),dN(v,p) in funzione delle restanti COPPIE Indipendenti (T,S),(v,p), anch’essi definiti nei Piani Entropico (T,S) e Meccanico O(p,v).
 
Tuttavia i 4 DIFFERENZIALI (63) sono sufficienti a risolvere i più importanti PROBLEMI Termodinamici, tenendo conto che le rispettive PPRIMITIVE INCOGNITE (U,H,F,G) si RISOLVONO per tentativi con INTEGRALI DOPPI del tipo (53), con la CERTEZZA della loro ESISTENZA se le Condizioni di INTEGRABILITA' (51) si estendono (x,y)E a tutte le EQUAZIONI (63).
 
Il problema si semplifica applicando le SOSTITUZIONI (x,y,X,Y)(S,v,T,p) col PROCEDIMENTO (51),(54),(55) nei 4 POTENZIALI (63), scegliendo ad esempio l’ENERGIA INTERNA U(S,v).
In questo caso la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e le FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) CONSERVANO le stesse VARIABILI (S,v) di U(S,v), PROSEGUENDO anche in H(S,p),F(T,v),G(T,p), dove RISULTA necessariamente l(S,v),V(S),W(v).
 
Questa SCELTA consente di DEFINIRE nel modo più semplice le 8 DERIVATE PARZIALI di SCHWARZ (55), che estendono le CONDIZIONI di INTEGRABILITA' (51) alle 4 PRIMITIVE INCOGNITE (U,H,F,G) nel modo seguente:
 
Anche in questo caso è facile OTTENERE i rispettivi SISTEMI di STATO (52), RISOLTI anche in FORMA RIDOTTA (56) ponendo λ=k∈ℜ. Tuttavia quelle ESPRESSIONI si rendono NECESSARIE quando occorrono almeno 2 dei 4 POTENZIALI TERMODINAMICI (66), SCEGLIENDO ad esempio l’ENERGIA INTERNA (dU=TdS-pdv) e l’ENTALPIA (dH=TdS+vdp).
 
Se invece SERVE soltanto una sola GRANDEZZA Termodinamica BIDIMENSIONALE del tipo Z(x,y), definita (x,y)E(CSC), conviene PARTIRE dall’EQUAZIONE Differenziale di SCHWARZ (51) che si risolve con l’INTEGRALE DOPPIO (53), soprattutto tenendo conto del SISTEMA di STATO (52) in Termini Finiti, espresso anche nella FORMA RIDOTTA (56).
 
Questo PROCEDIMENTO (che applicheremo in seguito) IGNORA i PRINCIPI della TERMODINAMICA (come se non esistessero) e consente di GIUNGERE (come abbiamo detto) a quella VERITA' che rappresenta una autentica LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA.
 
   
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9UNA LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA
 
Ogni GRANDEZZA FISICA Z(x,y)C2(E), definita (x,y)E(CSC), rappresenta una FUNZIONE di STATO spesso INCOGNITA che si esprime tramite il DIFFERENZIALE dZ(x,y), sapendo che le CONDIZIONI di CHIUSURA 2Z/yx=X/y=Y/x assicurano la SOLUZIONE Z(x,y), in Termini Finiti, INTEGRANDO senza tener conto della FUNZIONE di SCHWARZ 2Z/yx=l(x,y)C0(E):
 
Infatti, generalmente si assegnano soltanto i due COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y)C1(E) IGNORANDO la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y). Perciò il suo DIFFERENZIALE dZ(x,y) si RISOLVE per tentativi con INTEGRALI CURVILINEI Z(t) del tipo seguente, DEFINITI (x,y)E e quindi COMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI:
 
 
In alternativa conviene invece risolvere quei DIFFERENZIALI 2Z/xy=X/y=Y/x=λ(x,y) dopo avere assegnato in modo ARBITRARIO la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(E), per ottenere il SISTEMA di STATO (52), che chiameremo (), e l’INTEGRALE DOPPIO (53) della nuova PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)C2(E), dove assieme a λ(x,y) compaiono altre 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), generalmente INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI. Con la Funzione di SCHWARZ λ(x,y)C0(E) si ottengono i RISULTATIi:
 
 
Geometricamente, gli INTEGRALI Z(t),(68) e Z(x,y),(70) FORMANO rispettivamente TUTTE le CURVE del PIANO P(t,Z) e TUTTE le SUPERFICI dello SPAZIO-Tridimensionale O(x,y,Z), mentre il SISTEMA di STATO () rappresenta una generica SUPERFICIE dello SPAZIO-Quadrdimensionale W(x,y,X,Y) di EQUAZIONI Parametriche X=X(x,y),Y=Y(x,y).
 
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Conviene dunque partire dal SISTEMA di STATO () sperando di poter determina le FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) che dovrebbero rendere CONCRETE alcune APPLICAZIONI di ().

Il Problema è INVOLUTIVO, risolvibile SOLTANTO con l’IPOTESI di creare le CONDIZIONI SPERIMENTALI di V(x),W(y). A tale scopo, vediamo cosa accade esprimendo quel SISTEMA () in FORMA DIFFERENZIALE (d), per poi riportarlo in TERMINI FINITI (∑') DIVIDENDO la PRIMA EQUAZIONE per dx0 e la SECONDA per dy0, come segue:
 
 
Nel nuovo SISTEMA di STATO ('),(72) la PRIMA EQUAZIONE DIPENDE soltanto da (x) e la SECONDA soltanto da (y). Infatti, la DERIVATA TOTALE dy/dx e la SUA INVERSA 1/(dx/dy) ammettono una PRIMITIVA ARBITRARIA f(x,y)=0 che lega le 2 VARIABILI (x,y)E di X(x,y),Y(x,y),λ(x,y), mentre ASSIEME alle altre due PRIMITIVE ARBITRARIE, quella φ(x,X)=0 di dX/dx e quella ψ(y,Y)=0 di dY/dy, FORMANO la generica CURVA (σ) dello SPAZIO (x,y,X,Y).
 
Insomma, (') comprende 2 EQUAZIONI nelle 3 VARIABILI di cui (3-2)=1 risulta INDIPENDENTE, quindi rappresenta la CURVA (σ) dello SPAZIO Quadridimensionale (x,y,X,Y), definita dalla seguente EQUIVALENZA (')(σ):

In sostanza, partendo dal SISTEMA di STATO (Σ), definito (x,y)E2 dello Spazio (x,y,X,Y), abbiamo ottenuto la EQUIVALENZA (')(σ) che DETERMINA la generica CURVA (σ)() passante per il PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0).

Viceversa (quanto prima) ci CHIEDIAMO se è possibile CREARE (in qualche modo) una particolare TRASFORMAZIONE SPERIMENTALE (σ0)=x0(t),y0(t),X0(t),Y0(t) di un determinato FLUIDO (es. H2O), per DEFINIRE le due FUNZIONIi ARBITRARIE V0(x),W0(y) e quindi anche il SISTEMA di STATO (0) di quel FLUIDO, dopo aver MISURATO le 4 DERIVATE TOTALI (β0)=(dx/dy)0,(dy/dx)0,(dX/dx)0,(dY/dy)0, INDICIZZATE con un cERCHIETTO (0) per RICORDARNE la PROVENIENZA.

 
Questo importante PROBLEMA dello SPAZIO (x,yX,Y) si RISOLVE INVERTENDO () la PRECEDENTE (')(σ) per ottenere la NUOVA CORRISPONDENZA (σ0)(β0)(0) relativa ai FLUIDI col seguente PROCEDIMENTO MATEMATICO SPERIMENTALE. Si tratta di una autentica LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA, di cui (fra poco) faremo un breve commento:
 
 
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UN BREVE RIEPILOGO
 
PRIMA FASE (74)(σ0). 
Si ORGANIZZA una particolare TRASFORMAZIONE (σ0)=x0(t),y0(t),X0(t),Y0(t) di un determinato FLUIDO (es.H2O), passante per un PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0) dello SPAZIO (x,y,X,Y), predisposta ad esempio in un adeguato LABORATORIO COMPUTORIZZATO, quindi CALCOLIAMO (o Misuriamo) le 4 DERIVATE (dx/dy)0, (dy/dx)0, (dX/dx)0, (dY/dy)0 sulla CURVA (0).
 
SECONDA FASE (75)(β0).
In un CAMPO (x,y)ECSC dello SPAZIO (x,y,X,Y), si ASSEGNA la FUNZIONE di SCHWAR λ(x,y)C0(E) del SISTEMA di STATO (0), che serve per INTEGRARE le FUNZIONI ARBITRARIE V0(x), W0(y), in FUNZIONE delle 4 DEIVATE (dx/dy)0,(dy/dx)0, (dX/dx)0, (dY/dy)0 ottenute LUNGO la CURVA (σ0).

TERZA FASE (76)(0).
Le precedenti FUNZIONI ARBITRARIE V0(x),W0(y) definiscono il SISTEMA di STATO (0) e tutte le APPLICAZIONI, quindi COMPLETANO la CORRISPONDENZA (σ0)(β0)(0), tenendo conto del PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0)(x,y,X,Y) che (ripetiamolo) può ASSEGNARSI in modo ARBITRARIO.
 
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In un determinato FLUIDO la TRASFORMAZIONE PRESCELTA (σ0)(x,y,X,Y) non è ARBITRARIA ma viene PROGRAMMATA facendo variare opportunamente le 4 GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y).
 
In questi casi CONVIENE assumere una TRASFORMAZIONE (σ0)(x,y,X,Y) DEFINITA da una generica RETTA (x=at),(y=bt),(X=ct),(Y=dt) SAPENDO  che i suoi COEFFICIENTI ANGOLARI (a,b,c,d) sono facilmente MISURABILI.
 
In particolare, PONENDO λ(x,y)=k0 si OTTIENE la seguente CORRISPONDENZA RIDOTTA (σ0)(β0)(0), ASSEGNANDO le nuove CONDIZIONI INIZIALI P0(x0,y0,X0,Y0):
 
Questa particolare CORRISPONDENZA (σ0)(β0)(0) diventa una IDENTITA' (σ0)(β0)(0) se si INVERTONO le due TRASFORMAZIONI ESTREME, Verificando che VICEVERSA il SISTEMA di STATO (0) si svolge esattamente sulla (σ0).
 
Tutto ciò ACCADE effettivamente come risulta SOSTITUENDO a (0) gli stessi INCREMENTI (Δx,Δy,ΔX,ΔY) di (σ0). E’ questo uno dei CASI in cui si ottiene la VERIFICA MATEMATICA di  (σ0)(β0)(0) e della sua INVERSA (σ0)(β0)(0).
 
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CONCLUSIONE


 1) Il RENDIMETO di ogni MACCHINA TERMICA può essere Ottimizzato MODIFICANDO la CATENA
 
CINEMATICA, cioè il MECCANISMO che collega la CAMERA di COMBUSTIONE all’ALBERO,

specialmente nei MOTOI ALTERNATIVI, azionati dal Meccanismo BIELLA-MANOVELLA.
 
Questo vale anche per la MACCHINA PERFETTA di CARNOT e quindi l’ENTROPIA dS=δQ/T definita dai Teoremi di CARNOT-CLAUSIUS non può rappresentare l’UNICA ESPRESSIONE MATEMATICA del SECONDO PRINCIPIO della TERMODINAMICA, tantopiù che si tratta di una FUNZIONE di STATO che abbiamo già RISOLTA (Link 02), (k-1)ΔS=RΔln(pVk)=RΔln(Fsk), nei Piani Meccanici O(p,V),O(F,s), IGNORANDO quel POSTULATO, ma SENZA NEGARE la sua presunta VALIDITA' SPERIMENTALE.


 2) Lo STATO FISICO dei FLUIDI risulta definito (Gibbs) da 2 VARIABILI (x,y)E in un Campo Connesso EC⊆ℜ2, come pure le rispettive GRANDEZZE FISICHE Z(x,y), generalmente INCOGNITE e quindi espresse tramite EQUAZIONI INFINITESIME, δZ(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy, che si RISOLVONO in Termini Finiti con INTEGRALI CURVILINEI, conformemente al TEOREMA di TORRICELLI-BARROW, dopo avere ASSEGNATO i suoi due COEFFICIENTI (X,Y)C1(E).

Peraltro, se la CONDIZIONE 2Z/xy=X/y=Y/x è definita in un Campo Semplicemente Connesso (CSC), (x,y)(CSC)⊆ℜ2, l’Infinitesimo dZ diventa il Differenziale di Funzioni di Stato Z(x,y), come l’Entropia dS=δQ/T e i 4 Potenziali Termodinamici dU(S,v),dH(S,p),dF(T,v),dG(T,p) equivalenti al Primo Principio.
 
Tutto questo è ben Noto. La NOVITA' consiste nel fatto che (ripetiamolo) abbiamo RISOLTO (in Termini Finiti) l’ENERGIA INTERNA (dU=δQ-δL) e l’ENTROPIA di CLAUSIUS (dS=δQ/T) IGNORANDO i PRINCIPI della TERMODINAMICA. Ma anche perché è stata ignorata la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(CSC), definita dal SISTEMA DIFFERENZIALE 2Z/xy=X/y=Y/x=λ(x,y), la cui SOLUZIONE Z(x,y) dipende da FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI, mettendo in discussione la CONTINUITA' di una FUNZIONE DERIVABILE e soprattutto il CONCETTO di INTEGRALE, come CONFERMANO i precedenti ESEMPI NUMERICI.

 3) Questa RICERCA si fonda sull’ANALISI del DIFFERENZIALE 2Z/xy=X/y=Y/x=λ(x,y), che (x,y)(CSC) tiene conto della FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)C0(CSC) da ASSEGNARE in modo ARBITRARIO, la cui SOLUZIONE Z(x,y) dipende anche dalle altre due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y).
 
Il PROBLEMA è quello di DEFINIRE V(x),W(y) in FUNZIONE della generica CURVA (σ) dello SPAZIO QUADRIDIMENSIONALE (x,y,X,Y), RISOLTO con l’EQUIVQLENZA (')(σ) dopo avere LINEARIZZATO (72),(') il SISTEMA di STATO (69) ().

Si CONCLUDE con l’EQUIVALENZA Sperimentale (74),(75),(76), (σ0)(β0)(0), dove la generica TRASFORMAZIONE LINEARE (σ0) determina le due FUNZIONI (β0),V0(x),W0(y), che DEFINISCONO il SISTEMA di STATO (0) e che infine RISOLVONO (per via Sperimentale) la FUNZIONE INCOGNITA Z(x,y).
 
Nel complesso, qualsiasi TRASFORMAZIONE (σ0) di un determinato FLUIDO (es. H2O) è in grado di DEFINIRE (per via Sperimentale) lo STATO FISICO di quel FLUIDO, cioè tutte le sue FUNZIONI di STATO Z(x,y), che si DISTINGUONO (l’una dall’altra) variando opportunamente le CONDIZIONI INIZIALI, cioè la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e il PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0) di (a0). Si tratta dunque dell’Espressione Sperimentale di una LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA.

 4) Le CURVE STATISTICHE di GAUS, POISSON, PLANK, ed altre, DIMOSTRANO che gli inevitabili ERRORI di MISURA consentono di CALCOLARE soltanto il VALORE PROBABILE (Zm) di una GRANDEZZA FISICA, mentre il VALORE VERO Z(t) varia con LEGGE TEMPORALE in un INTERVALLO (Zm-m)<Z(t)<(Zm+m), mai nullo, che CRESCE fino a diventare INACCETTABILE man mano che le DIMENSIONI tendono verso i limit ATOMICO e SIDERALE, come confermano: l’INDETERMINISMO di HEISENBERG e la MECCANICA QUANTISTICA.

Si TRATTA di una REALTA' VERA IN QUANTO VARIABILE e non VERA IN QUANTO ESISTENTE, VALIDA SOLO NELL'ATTTIMO FUGGENTE E NEL POSTO IN CUI SI OPERA, QUI E ADESSO E NON SEMPRE E OVUNQUE.

Di notevole INTERESSE sono anche le conseguenze Matematiche del SISTEMA DIFFERENZIALE (67), eventualmente ESTESO agli ORDINI SUPERIORI n>2. Nel CASO ATTUALE ci limitiamo a ricordare la RELAZIONE di APPARTENENZA (σ)()(x,y,X,Y) e il SIGNIFICATO dei suoi TERMINI. In effetti il SISTEMA di STATO (å) comprende 2 EQUAZIOI nelle 4 VARIABILI (x,y,X,Y) di cui (4-2)=2, comunque SCELTE nei 6 MODI possibili, RISULTANO INDIPENDENTI. Quindi a causa delle 2 FUNZIONI ARBITRARIE (V,W) rappresenta una generica SUPERFICIE () dello SPAZIO (x,y,X,Y), che diventa SUPERFICIE RIGATA essendo (σ)()(x,y,X,Y).
 
Precisamente, ogni SUPERFICIE () è ATTRAVERSATA dalle sue INFINITE LINEE (σ), mentre viceversa per ogni LINEA (σ0) passa una SOLA SUPERFICIE (0). E' come dire che OGNI ALBERO
contiene MOLTE FOGLIE, mentre UNA FOGLIA appartiene a un DETERMINATO ALBERO.

 
5) Un moderno PERSONAL-COMPUTER, dotato di adeguate Apparecchiature, può essere PROGRAMMATO in modo da GESTIRE le CORRISPONDENZE SPONTANEE o GUIDATE, in particolare quella RIDOTTA (σ0)(β0)(0), traducendo in termini MATEMATICI tutte le ATTIVITA' SENSORIALICHE COLLEGANO LA MENTE UMANA AL MONDO CIRCOSTANTE.
 
 
In tal modo i CONCETIi di MASSA, VOLUME, TEMPERATURA, ENERGIA, ENTROPIA, ENTALPIA, ecc., diventano VERITA' OGGETTIVE ADIMENSIONALI (numeri puri), ciascuna avente un SIGNIFICATO INDIPENDENTE dalle UNITA' di MISURA.
 
Peraltro tutti quei CONCETTI possono essere MODIFICATI come si vuole CORREGGENDO le CONDIZIONI INIZIALI, cioè la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e il PUNTO P0(x0,y0,X0,Y0)(σ0).
 
  
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10)   LA CICLOIDE ELLITTICA (fuori Testo)
 
 
Nel Piano Cartesiano Ortogonale O(x,y), consideriamo le 2 Ellissi Uguali (E,F) situate in posizione Canonica (vedi figura), di Semidiametri (ab>0) e Centri (O,) sull’Asse (O,x), posti alla distanza |O|=a+b, dove si trova anche il Punto di tangenza (T) legato al segmento (O,) dall’Equazione:
 
|OT|+|T|=|O|=a+b
 
Ci domandiamo se questa EQUAZIONE vale anche durante il ROTOLAMENTO di (F) sulla (E) o Viceversa, SAPENDO che certamente viene SODDISFATTA nelle 4 POSIZIONI CANONICHE di (E,F) quando il RAGGIO POLARE (O,w) FORMA le corrispondenti COORDINATE ANGOLARI: (0-π/2-2π/2-3π/2) rispetto all’ASSE (O,x).
 
 
Per fare una VERIFICA, consideriamo le 2 CIRCONFERENZE di CENTRO (O) e RAGGI (a,b), che intersecano la SEMIRETTA (O,w) nei PUNTI (M,N), dai quali si OTTIENE il generico PUNTO (PE), cioè la COSTRUZIONE (per Punti) dell’ELLISSE (E).
 
Peraltro (ci limitiamo ad affermarlo) la NORMALE (P,n) a (E), nel Punto P(E), interseca la SEMIRETTA (O,w) nel PUNTO (), che rappresenta il CENTRO () della NUOVA ELLISSE (F'), SITUATO alla stessa DISTANZA |O| da (O).
 
Inoltre si Dimostra facilmente che durante il ROTOLAMENTO di (F) INTORNO a (E) i due SEMIASSI |OT|((E),|T|(F') CONIUGATI con la TANGENTE (T,t), cioè (α1,α2)(E) e (β1,β2)(F'), SODDISFANO necessariamente alle EQUAZIONI:
 
  
Dato l’ARBITRARIO Orientamento della SEMIRETTA (O,w), possiamo dire che la CIRCONFERENZA di CENTRO (O) e RAGGIO |O|=a+b rappresenta il LUOGO dei PUNTI DESCRITTI da () durante il ROTOLAMENTO di (F) Intorno a (E), o Viceversa,
 
che abbiamo chiameto: CICLOIDE-ELLITTICA.
 
Di conseguenza, le 2 ElLLISSI UGUALI (E=F), di SEMIASSI ab>0 e CENTRI (O,), supposti FISSI alla DISTANZA |O|=a+b, possono ROTOLARE l’Una sull’ALTRA (nei due versi opposti) SENZA STRISCIARE, mantenendo il CONTATTO TANGENZIALE (T) che diventa il CENTRO ISTANTANEO di ROTAZIONE, in Moto RETTILINEO ALTERNATO nell’INTERVALLO b|OT|a lungo il SEGMENTO (O,), con la TANGENTE (T,t) variamente INCLINATA rispetto a (O,).
 
Questo TEOREMA consente importanti APPLICAZIONI INDUSTRIALI, malgrado l’inevitabile VIBRAZIONE che però può essere NOTEVOLMENTE RIDOTTA tramite 2 o più COPPIE ELLITTICHE DENTATE (E,F), vincolate e ugualmente SFASATE sullo stesso ALBERO MOTORE di ASSE (O).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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